國小數學領域的創造力教學
林怡秀
彰化縣靜修國小教師
壹、
前言
現今的數學教育過於注重計算、熟練及測驗成績，導致許多學生不將數學視為一種解決問題之方式或思考模式，而將其視為在測驗中獲得分數的工具。以上因素進而影響到學生的學習式態，使原本應是有趣、需要思考的學科，失去其原有的意義及可帶給學習者富創造性的思考模式之機會。本文針對數學領域之創造力加以探討，包括數學科創造力之意涵、如何進行富有創造力數學教學、可供使用的教學策略等，期盼教學者能思考富創造力的數學教學之意涵與做法。
貳、
數學創造力之意涵
一、Aiken所提出者
Aiken(1973)指出目前「數學創造力」的研究大多傾向在兩個不同基礎上，一是著眼於潛在的創造過程，另一則是著眼於明顯的創造成果之上(張華城、洪文東，2004)。以下根據Aiken所指的兩基礎來說明各個學者對於數學創造力所下之定義。
(一)
創造過程
認為數學創造力研究應注重創造過程的學者，其觀點認為數學創造力會出現在兒童解決數學問題的過程中，所以強調應注重認知過程的本質。支持此觀點的學者及其看法如下：
(二)
創造成果
認為數學創造力研究應著眼於創造成果的學者，其觀點是強調評鑑數學創造力的標準應是在教師可以觀察到的學習成果上，而不是思考的歷程。支持此觀點的學者及其看法如下：
此外，Hollands(1972)提出一個衡量數學創造力的標準，包括五個指標：
(1)
變通性(Flexibility)：由學生解題的多樣方法中顯示。
(2)
精緻性(Elaboration)：從問題延伸或是將結果改變得更好。
(3)
流暢性(Fluency)：在短時間內產生許多的想法。
(4)
獨創性(Originality)：可從學生嘗試使用新奇的、或不常見的解題方法中顯現出。
(5)
敏覺性(Sensitivity)：學生有建設性的去評論標準的方法。
由上述數學創造力的觀點來看，可發現大多數學者使用一般的創造力定義來爲數學創造力下定義。「數學創造力」是個人在開放的數學情境中，發現問題並清楚界定之後，在面對數學問題時，將想法、技巧及方法加以組合成一個新方法，用此新方法去分析問題，形成數學的新型式，並決定一個具有流暢、變通、獨創等特性的策略，而其產生結果的過程中，即是數學創造力(張華城、洪文東，2004)。
二、NACCCE之定義
近年來，國家創造力與文化教育諮詢委員會(NACCCE)建議極力發展年輕人之創造力。而其由Ofsted(2003)所提出之創造力定義如下：
想像性活動形成以致於產生包含原創性與有價值的成果。創造力的過程有以下四個特徵：(1)思考或行為表現上富有想像力。(2)創新活動是有目標的，也就是接受指導而達成目標。(3)產生的產品須有原創性。(4)結果需是與目標有關聯性的價值。
參、
數學教學與創造力
爲了對數學創造力有更全面性的了解，教師可思考將學校中的數學分為以下幾個元素來做探討：
一、過程：是最易辨別與最能明確教導的元素，包含：事實(如：與10相連的數)、技巧(如：用尺測量長度)、概念(如：對於一事件可能發生與否的想法)。兒童需要存積已學的事實及技巧，以便在各種不同的內容及問題中應用。
二、應用：兒童學習去使用已學過的事實、技巧與概念，讓兒童發展問題解決能力並增加對運算過程之理解。
三、精緻：數學是創意的訓練，可在愉悅間帶來刺激，可藉此發現學童最初解決問題時是對問題有較精緻的解決方式，或是忽然見到隱藏性的關連。教師要讚賞兒童對數學間的相互關係之發現，使兒童能在解決問題時做出更多決定。
以下將學校中的數學內容依以上三元素說明如下：
爲了使兒童運用已知及個人判斷的方式來運算數學，敎導與學習時須注意：發展批判性思考及正面評價數學的精緻化。
肆、
提升數學創造力之教學策略
一、
鑑別兒童的數學創造力
所有兒童皆有某些程度的創造力，教師要認清兒童在課堂中的創造力，有創造力之兒童其表現如下：
(1)
有創造力的兒童富有好奇心，會問許多問題，而有些富挑戰性的概念甚至超越同儕、教科書及老師。他們可能會對數學概念提出可轉換的解釋或提出假設理論。如：有個孩子學到三角形的角並提出：如果將三各角置於球體上，那麼三個角的角度就不再是180度了。
(2)
兒童能用新方式做記錄，這包括兒童使用自己的形式做記錄而非使用老師所建議者。歷史上的有重要貢獻的數學家通常都是自己發明紀錄用的符號或方式。
(3)
有創造力的兒童會見到數學概念之的關連，並能清楚表達其所理解者。
如：兒童的課程中學到將分數轉換成小數，給兒童較有價值及有趣的工具來發其 對分數與小數間關係的理解。
二、
鼓勵數學創造力之教學策略
辨別及鼓勵創造力是兩個不同的過程，只有當提供創造力的經驗給兒童時，教師才能知道如何促進學生的創造力。要增進學生的創造力，以下策略值得教師考慮並使用：
(一)提供有創造力的工作環境
1.
培養創造力的活動方式
(1)
當學生積極的投入一活動時，不要限制其時間。
(2)
可討論從事某一數學活動長達數月或數年之久，而對後代產生貢獻的著名數學家之生平事蹟。
2.
允許學生追求富創造力的概念
允許學生有自由的學習目標並使用原創的概念，教師須讓學生選擇自己的探究方式並要接受非預期中的結果及對其做評價。
3.
從分析探究中培養創造性思考
(1)
詢問開放性問題能使學生提供不同的答案及觀點，而非封閉式問題只得到簡短回答。
(2)
讓學生利用原創概念，如：讓他們畫出某一特定形狀而非詢問其某形狀名稱。
(3)
用思考取代記憶式的詢問，如”結果為何…?”、”假如…?”、”你能想到另一種方式嗎…?”等問題。
4.
鼓勵紀錄富有創造力的概念
(1)
鼓勵孩子使用圖表、卡通或用言語侃侃而談，以呈現其數學概念。
(2)
仔細思索孩子所記錄之內容，確定能促進學習及培養概念，例如，組織思考、紀錄知識及溝通概念。
5.
呈現富創造力的範例
(1)
使用各種教學方式並考慮到學生的學習式態。依各種不同活動讓學生分成異質及同質之團體。
(2)
讓學生體驗不同的學習資源並提供”思考工具”。
(3)
利用不同方式及內容來挑戰並激發孩子的興趣，介紹活動時用遊戲、謎語、故事等。
(4)
藉由允許學生有自己的調查方式來培養其獨立性；鼓勵學生藉由排卡片、丟骰子、編故事來統合自己的經驗而非只是經常習寫學習單。
以下提供教學上的實例，希望藉由所提出的問題，鼓勵兒童做更有創意的思考。
一、如果尺消失了會發生何種情況?
二、想像沒有標準測量工具時的情況?
三、當計算機上的按鍵6壞了，你如何使用計算機來算369+674?
(二)提出關於敎與學的創造力計畫
1.
提供創造學習之起始
教師在做教學計畫時，藉由所選擇的活動讓學生有機會用各種方式去做調查，這樣的活動是支持而非取代課程目標中所敎授的內容與技能。假如孩子擁有豐富的知識及流暢的心智能力，便更能沉浸於創造力的探索活動之中。提供選擇機會、利用所學增進理解、培養思考技能、讓學生培養正面態度及欣賞數學的簡潔精確。
2.
提供資源來支持創造力思考
使用資源讓學生更加獨立學習、做自己的調查，仔細選擇所使用的資源以促進學生學習之品質：
(1)
分類、定義與重組
如：利用真實錢幣作活動、利用玩遊戲培養概念。
(2)
有目標、動機並參與
如：藉由選擇字卡、丟骰子來讓學生統整自己的例子。
(3)
“思考工具”
如：培養孩子排序或分類的能力，讓其有機會確實移動身體並使用設備。
(4)
形塑個人的理論與概念
如：鼓勵兒童去使用工具、用圖解來說明、並證明其發現。
三、
問題本位學習
(一)問題本位學習之意涵
Martin(1999)等人認為問題本位學習係指一種課程教學的方法，著重於學生以問題為中心的學習，而這些問題都是學生在過去及未來的工作場合中會遇到的問題。Levin(2001)也指出問題本位學習是一種鼓勵學習者運用批判思考、問題解決技能和內容之事，去解決真實世界問題和爭議的教學方法。呂瓊萱(2005)整理學者的見解後提出，問題本位學習有課程層面上的意義及教學層面上的意義；教學層面上的意義指教師在教學過程中，以真實生活問題陳述設計為課程起點，以學習框架引導學生藉由瞭解問題、分析自身已知和未知的知識、將已知知識和新資訊加以統整去解決問題而建構新知識，藉由處理問題的過程，運用小組合作搜尋知識，學到必要的知識而提出解決之道。
問題本位的教學活動以學習者為中心，教師的角色是協助者、促進者。除了個人建構知識外，也在教師或同儕搭建的鷹架上學習更高層次的能力，而培養主動學習、批判思考和問題解決能力。且教師在引導過程中不斷運用問題策略請學生反思「你確定真的是這樣子嗎?」「如何證明你說的是正確的?」，讓學習者在解決問題的過程中，知道自己要做什麼?要如何做?學習者藉由教師引導而重新檢視問題，再思考，提升後設認知能力。
(二)問題本位學習之教學步驟
呂瓊萱(2005)參考紐約市立大學在中小學實施問題本位學習的步驟，並根據相關文獻將教學步驟分為以下六項：
1.
連結問題：
(1)
以學習單引導學生閱讀問題陳述，或以多媒體方式呈現問題。
(2)
讓學生真正了解問題情境，並與其生活情境相結合，讓學生感受到問題的重要性，並花時間去了解。
2.
建立結構
以表格或框架分別呈現想法、事實、學習議題、行動計畫四部份。
3.
查訪問題
框架建立後，要求學生從頭到尾再閲讀一次問題陳述，確認「事實」、「學習議題」、「行動計畫」所列的可能解答。學生在執行行動計畫前，所有資訊要公開分享。
4.
執行計畫
將計畫化為行動，並蒐集相關資訊，可在課堂內進行，也可在課堂外進行獨立研究。在獨立研究時，教師以教練的角色引導學生發展協同合作與資料蒐集、整理、評量之能力，適時提供必要協助。
5.
再訪問題
此部份進一歨發展學生溝通技能及說服演說的能力。包括兩步驟：
(1)
報告和發表學習成果及作品。
(2)
評估學習議題的各項解決方案。
6.
綜合計畫
此階段包括「學習成果回饋」及「評量學習成效」兩部份。學生展示問題學習本位之成果，成果可以是個人的、小組的、全班的作品或表現；教師可鼓勵學生自我評鑑個人表現、或互評小組表現，讓學生練習自我評量並給予適當回饋。此時教師可利用檢核表從學生的學習成果中了解學生是否達到學習目標、學到應學的能力；評量可採多元方式進行。
最後，教師應在教學結束時自我評鑑問題的設計品質及教學實施過程，作為改進教學之參考。
伍、
創造力教學活動舉例
一、Sum-u-like
運算一個複雜的數字時，將其換為較容易運算者，並鼓勵孩子運用已學的策略。
如：35Í21
21可分為(2Í10)+1，
結果成為：35Í(2Í10+1)
35Í2=70 70Í10=700 700+(1Í35)=735
二、做一本書班級數字書
如：一球隊有11名球員、一星期有7天、天空中有1000000000顆星星。
三、畫一條生命線，標上從出生後所發生的關鍵事件。
四、牛奶箱
有一牛奶箱中可裝36瓶牛奶，請將14瓶牛奶裝到箱子中且每列與每行的數目相等。
陸、
數學創造力評量方式舉例-國小學童數學創造力評測
此測驗是張華城(2003)在其論文「國小學童數學創造力與科學創造力之相關性及差異性研究」中所自編用來測驗學童之數學創造力的工具，將評量內容分為以下所列的三項問題類型：
(一)
關聯分析型：學生對所學的知識有更深一層的了解，將所學的概念分析成為各個構成部分，或找出各部分之間的相互的關係。
(二)
綜合解釋型：學生能將所學到的片斷概念或知識，統合、歸納及設計出自己的產物、型態模式和想法。並能針對問題成分條件與解題目標，提出解題策略結及結果。
(三)
批判評鑑型：學生需要運用他所知道的知識，去作價值判斷，提出解題方法，並能對問題提出判斷及評鑑。
此項評測工具依上述問題類型設計三個題目，藉由學生答題反應，測出學生創造力中的三項指標之得分，即「流暢性」、「變通性」、「獨創性」。由三位評分者共同對測驗的結果評分。
柒、
結語
從探討數學創造力的意涵，可瞭解到學者對於數學創造力的定義。在數學教育中，學習的過程與學習的結果是國小學生學習數學的一體兩面，兩者同樣重要，不能偏重。只重過程而不重結果將使得學習不完整；只重結果而不重過程，將使學生知其然而不知其所以然。敎師若能注重創造力教學，將創造力的概念與做法發展成教學策略帶進教學現場中，並兼重創造過程及創造成果，相信會使我們的數學教育有一番新風貌。
捌、
參考文獻
呂瓊萱(2005)。國小不同學習成就學童在問題本位學習表現情形之個案研究。國立嘉義大學國民教育研究所碩士論文。未出版，嘉義市。
張華城(2003)。國小學童數學創造力與科學創造力之相關性及差異性研究。屏東師範學院數理教育研究所碩士論文。未出版，屏東縣。
張華城、洪文東(2004)。國小學童數學創造力與科學創造力之相關性及差異性研究。科學教育研究與發展季刊，37，25-50。