淺談數學寫作教學
陳英豪
南華大學幼兒教育學系兼任講師
壹、
前言
近幾年在教育改革的浪潮推動之下，無論是課程或是教學方法都有極大的轉變。就數學科而言，1996年所推動的新課程，以及2001年開始實施的九年一貫課程，都使得數學科的課程與教學走向了建構主義的觀點。強調數學教學是激發學生建構知識的過程，要讓學生自己去建構數學的意義，自己去建構解題的活動，並且去反省自己的解題過程，讓學生能透過內省、自我對話來修建知識﹙林生傳，1998﹚。在這樣的教學理念之下，傳統「教師教—學生聽」的指導教學變成不在適用，一些創新的方法紛紛被提出來；其中，結合寫作活動的數學寫作教學成為一個新興的主題。
貳、
數學寫作之理論基礎
1989年美國數學教師協會（National Council of teachers of
Mathematics, NCTM ）出版的Curriculum and Evaluation Standards
for Schools Mathematics (NCTM,1989)一書建議將寫作活動融入數學教學中。該書作者們認為數學教學應強調有意義的溝通，數學觀念的寫作可以幫助學生釐清他們的想法，並加深他們原有的觀念。寫作在幫助學生學習數學上，扮演重要的角色，Miller(1992)指出寫作是主動的學習過程，它能促進學生程序性和觀念性的了解，學生也往往在寫作的時候才發現自己在想什麼？學到了什麼？什麼是重要的？寫作也有助於學生組織與整理數學概念，並且在一些觀念中尋求關連，尤其是聯結學生的直覺想法、數學語言、與抽象符號。確實，死背熟記實用的演算規則可能意味著學生有能力在情境中運用正確的工具，但是數學是需要更多充分理解力的，那是對世事邏輯思考的一種方式(NCTM,2000)。
Countryman(1992)指出了解數學就是要做數學，我們需要創造一個使得學生可以主動的、具創造性的且反應到真實世界的情境。要學數學，學生就必須自己建構。他們只可能由探索、表徵、討論、使用、描述、調查、預測而做到，總之就是在生活中要主動，而寫作對這過程而言就是一個的理想活動。雖然使用演算規則可提供一條有效的路徑以確保正確的答案，但學生通常不知道如何或為何這些程序行得通(Whitin,1998)。這些解決數學問題的背熟的、程序性的方法事實上是可以得到正確的答案。然而答案可能不是最重要的。如果數學是被教成一種「思考的循環：發展、證明、評估」的方案，那麼寫作就是這些工具中的一種強有力的實現(Hazel,2000)。寫作幫助學生自己意識到運算法則(Whitin,1998)。它也幫助他們看到數學概念是互相關連的、貼切的而且明確的。同時經由這種練習，其他領域也自然地變得明確。藉由有關數學的寫作，學生將會把新的觀念放到他們的字彙中，而這些字彙也可以在其他科目中用來表達觀念，如此，會和他們正在學習的產生一種比較。他們將能用思維一致的態度來察看他們所有的知識。寫作可以保證學生將整理他們對某一物體的思維，從而提供一種方式和練習來整理他們對思考的想法(Cook,1995)。藉由寫作教數學可用另一種方式幫助學生在各種不同科目間的能力。一般的寫作能力會經由用數學寫作而改善。當學生用數學來寫作時，藉由重複的機會來表達觀念，增強了寫作的流暢(Dusterhoff,1995)。
劉祥通（1997）認為數學的活動大致包括解題的活動、表徵的活動、建構知識的活動、與產生省思與分析的活動，而數學寫作的活動也由這些活動組成。因此就這些活動與數學學習的關係來討論，以作為數學寫作的理論根據：
﹙一﹚
寫作的歷程與解題的歷程相符應
在統合Hayes & Flower ﹙1980﹚計劃﹙planning﹚、轉譯﹙translating﹚、和回顧﹙reviewing﹚的寫作三歷程與Polya（1957）瞭解題意、擬定解題計畫、執行解題計畫、與回顧等四個階段之後，可歸納其共通點在於寫作之計畫可包含瞭解題意與擬定解題計畫兩項，轉譯則可和執行解題計畫相對應，且前後兩者皆強調回顧的部分。
﹙二﹚
寫作是聯絡不同表徵的活動
因為寫作可用以聯絡不同的數學表徵，例如具體的(一顆蘋果)、圖像的(蘋果的圖片)、符號的(蘋果的符號)、文字的(「蘋果」兩字)、心象的(心中浮現蘋果的意象)等等不同面向，當學生能在寫作中以不同表徵方式自由地轉譯，進而連結直覺想法、抽象符號與數學語言，甚至貫通數學領域及現實世界，那麼就表示其已完整瞭解並懂得運用所學習到的概念與知識。
﹙三﹚
寫作是建構知識的活動
學習與寫作同是以已知連結欲知的意義建造過程，而非只是事實與觀念的組合或既有觀念的簡單轉譯，故而提倡以寫作帶動學習數學的方法。況且依據建構主義者Vygotsky的理論，參與活動的器官愈多，則印象愈強烈，所形成記憶愈深刻且完整，因此在數學學習中引入寫作活動，除完備課堂中聽、說、讀、寫四項數學教學概念的溝通，還能刺激學生於學習過程裡的多項感官，進以加深學習效果。
﹙四﹚
寫作有助於發展後設認知的(Metacognitive)能力。
寫作是以重新閱讀與檢驗的方式幫助學生重整自己的想法，有助於後設認知能力的培養，加上後設認知能力影響著學生的學習，因此寫作若能與數學的學習相互結合應用必可起相當之效用。
綜合上述，透過寫作的形式能讓學生在學習數學時，確實抓牢應當學習的觀念與要點，並將貫穿不同面向的表徵融入解題運作的心理歷程裡，同時以文字詳實地表述出來，在歷經一番自我審視與整理後，更能清楚掌握所能應用的學習資源以及覺察已知與未知的分際，未來於學習情境裡自可發展出一套完備的自動學習機制用以主動建構知識並形成良性循環。以寫作提昇學習所需之後設認知能力，後設認知能力愈強則於寫作中所呈現之狀態愈貼近真實，所謂數學寫作能力佳並非指向文字撰述及修飾的技巧，而是藉著文字的抒發把學習歷程坦誠地表露為可見的線索，並將所展現的內容作徹底的剖析和檢討而後改進，相信對於數學的解題學習能力亦有一定的正向意義。
參、
數學寫作教學方式與策略
林倉億(2000) 從五個幫助數學學習的角度，闡釋數學寫作活動的多樣性，其建議學校教師可從事的寫作活動內容型式如下：
(一)在發展數學知識方面
1.對重要的數學概念寫下「個人的」定義。
2.寫出對數學概念的解釋。
3.寫出一個章節的摘要。
4.解釋自己在作業上或測驗上所犯的錯誤。
5.舉例並說明所舉例子的正確性。
6.討論公式或規則及其重要性。
(二)在發展解題方法方面
1.寫出要如何去解決這個問題。
2.比較不同的解題方法。
3.敘述在解題中是如何使用所學的技巧。
4.對一個問題情境提出解決的策略或方案。
(三)在發展自我監控與反思方面
1.描述這個問題何以是困難的或是簡單的原因。
2.解釋為何答案是合理的。
3.在所作的工作中確認並回答一些問題。
4.分析自己作業的品質或層次。
5.考慮不同的解題路線並分析它們對答案造成的衝擊。
6.討論不同問題間的相似處與相異處。
(四)在促進情感表達方面
1.寫出成長過程中與數學有關的經驗。
2.寫出在自己的未來數學可能扮演的角色。
3.談談數學改變了自己生活中的那些方面。
4.談談那些可以幫助自己瞭解數學概念那些會造成阻礙。
5.寫出在做數學時的感受。
(五)在促進討論方面
1.寫下要老師作更進一步解釋的部份。
2.詳述那些已經懂了那些還不懂。
3.敘述今天上課的內容。
4.寫出和同學討論的摘要。
5.寫下同學對討論主題的回答。
6.對一個問題或任務提出整組的報告。
另外，劉祥通（1997）提出以下教學策略：
（一）勵學生留下解題痕跡以發展算則或符號的教學。
（二）讓學生以自己的話表徵數學概念。
（三）要求學生說明自己的解題策略或困擾。
（四）讓學生自創解題算則或程序。
（五）創造開放式的問題(open-ended
question)供學生組織答案。
（六）要求學生列出解題的步驟與策略。
（七）要求學生練習擬題以加深對問題的了解。
肆、
結語
數學寫作對於學生而言，有助其集中學習注意力，於學習過程裡廣泛地探索相關問題，養成學習數學時的獨立思考習慣而非只知依賴教師的教導，增進積極的學習態度，並有機會藉以破除迷思問題，又因數學寫作之師生溝通內容具有私密性，故可減輕學生在學習場域裡提問時可能面臨的同儕壓力；而對教師來說，依據學生數學寫作所呈現的內容可用以檢視教學進度，分析學生的學習狀況及反應，依照學生不同的學習成效檢討教學得失。最後則是讓師生共享更多溝通與互動的空間。
參考文獻
林生傳﹙1998﹚。建構主義的教學評析。課程與教學季刊，1﹙3﹚，1-14。
林倉億(2000)。透過「寫作」促進數學學習。
劉祥通（1997）。數學寫作教學策略初探。八十四學年度國立嘉義師範學院數學教育研討會論文實務彙篇，247-257。
Cook,
J. (1996). Integrating math and writing. Teaching PreK-8, 22-23.
Countryman, J. (1992).Writing
to learn mathematics , Strategies that work.
Dusterhoff, M. (1995). Why write in
mathematics? Teaching PreK-8, 25（4）, 48- 49.
Hazel, D. J.(2000). Teaching Mathematics Through
Writing.
National Council
of Teachers of Mathematics (1989) . Curriculum and evaluation standards
for school mathematics .
National Council of Teachers of Mathematics (2000). Principles
and Standards for
School Mathematics.
Whitin, D. J. and Whitin, P. E. (1998). The
write way to mathematical understanding. In Morrow, L. (Ed.)
Teaching and learning algorithms in school mathematics.(NCTM
1998 Yearbook, 161-169)