影響資優生數學解題能力之重要因素探討
陳英豪
南華大學幼兒教育學系兼任講師
壹、前言
「數學為科學之母」，也就是說數學是一切科學教育的基礎學問；更是學習科學的重要工具。唯有完備的數學理論基礎，才有足夠的能力來發展科學學術與技能，其重要性是每一個教育工作者不容忽視的教學科目，故數學教育的成敗，足以影響整個社會的發展與進步，甚至關乎整個國家的興衰。
「問題解決」這一個主題，是恆久不變的定律；因為不論時間經歷多久，科技如何發達，人們總是必須去面對諸如職場上或生活上的問題等，而設法去解決問題，以下決定。人們雖然能藉助科技的幫助，可以找到答案；但是唯有人類的頭腦和智慧才能思考推理，才能解決問題。我們必須使學生具備「解決問題」的基本能力，也使得他們將來離開學校，而進入實際的世界時，會使用這些基本技巧以及思考推理，去解決所面對的問題（教育部，2001）。1977年美國數學督導學會（National
Council of Supervisor Mathematics, NCSM）發表的「數學基本技巧宣言」中，指出學生應具備的十大基本數學技能，其中的第一項技能，就是「問題解決」（problem
solving），以適應社會變遷的需要（吳德邦、吳順治，1999）。美國數學教師協會（National Council of teachers of Mathematics, NCTM ）歷年來所公佈的數學課程評鑑標準中，把「問題解決」列為重點之一（NCTM，2000），可見問題解決在數學學習及數學課程中的重要性。
現行之國中小九年一貫課程的數學領域課程目標亦強調發展學生解決數學問題的能力，期望學生能達成「發展形成數學問題與解決數學問題的能力，並透過數學學習激勵多樣性的獨立思維方式，激盪各種想法，激發創造力。」（教育部，2001），可見數學解題的重要性。因此，不論數學教材如何改，數學解題一直是數學教育的重心，而數學教育就是在培養學生應用所學解決問題。
目前，我們的社會面臨一些前所未見的難題，諸如資源匱乏、生態保護等，而這些難題的複雜性，顯示出科技方面的新挑戰。是故，我們必須積極地培養一些高科技的人才，以解決這些難題，而具有高度數學問題解決潛能的資優生是必然的候選人（黃敏晃，1986）。就資優生數學學習特質來看，資優生在認知方面的特質有：辨認出欲解決的問題，如專家一般的選擇表達資訊方式、能有系統地監控問題解決的過程，高層次抽象思考能力、偏好複雜具挑戰性的作業、邏輯推理速度快、組織綜合歸納能力佳（Greenes，1981；Krutetskii，1963、1969、1976）。準此，為國家社會的未來培養具服務熱忱的問題解決人才是我國辦理資優教育的主要目的之一。
貳、資優生數學解題特徵
觀國內外有關資優生數學解題的研究中，近年來以俄國學者Krutetskii (1963，1969，1976)的研究最受重視。其研究主要目的在於：描述數學資優生解不同數學問題時之心智活動的特徵。此外，他的研究有與解題能力和個別差異有關的主題，即探討在數學能力的架構上，象徵性能力的差異，並且探究年齡的差異對數學能力的影響。
Krutetskii (1963，1969，1976)在分析數學資優生的個案研究中指出：數學資優生在解題時，有下列一些心理特徵：1.具有敏捷的推理和心理定向；2.具有邏輯思維，以及有系統、有順序的思考能力；3.具有數學抽象思考的能力，且能迅速面廣泛地組織材料；4.具有靈活的思維；5.能任意地從正面的思維歷程轉換到反面的思維歷程；6.解答問題時，其有迅速且簡捷的推理能力，亦具有「壓縮」的傾向；7.對數學材料能夠迅速而牢固的記憶；8.對數學作業很少感到疲勞。在解題特徵方面則包括：1.能掌握問題的結構；2.能看出並解釋量的
或空間的關係；3.能有彈性地心理運作；4.能將若干例證加以類化；5.力求問題的澄清、簡化、經濟，並尋求解題的原則；6.能將數學的關係，爭論的觀點及證據，結構的特色加以類化以便記憶。
在數學能力方面，Krutetskii 設計了26 套題目，每二或三套共同決定某一數學能力因子，再以因素分析的統計方法，分析出數學能力的所有因子，共計如下九項：1.形式化數學題材的能力；2.一般化數學題材的能力；3.數學運算能力；4.邏輯推理能力；5.簡捷思考能力；6.逆向思考能力；7.彈性思考能力；8.數學記憶能力；9.空間概念能力。
而在Krutetskii的研究裡，另一個重要的特徵是解題能力與問題知覺關係之探討。其研究結果發現：解題者與差的解題者之間，主要的差異在於他們對問題中之重要元素的知覺。好的解題者所具備而差的解題者所缺乏之象徵性的特殊能力包括：1.從看似不相關的訊息中區別出相關訊息的能力；2.能很快而正確的看出問題的數學結構；3. 能將大範圍類似問題一般化；4.在經過一段很長的時間後，仍能記住問題的正式結構。
除了Krutestkii 之外，Stonecipher (1986)比較資優學生與普通學生之數學解題過程，並依據Kilpatrick
(1967)之編碼系統(coding system)加以分類，其主要發現如下：
1.
資優學生傾向於用自己的語句重述問題以求理解，而普通學生傾向於逐字重讀問題，而不加以重組。
2.
資優學生傾向於應用推理及評鑑（例如：核對，即使用另一種方法解題以核對結果是否相同）之歷程，而普通學生傾向於猜測答案，對問題的情境常常誤解。
3.
資優學生傾向於採用類化的策略，而普通學生傾向於採用嘗試錯誤或其他較無效的策咯。
4.
資優學生在每一解題過程中所使用之時間少於普通學生。
除了國外學者Krutestkii 及Stonecipher 之外，在國內研究方面，謝淡宜（1998）的研究指出：數學資優生在處理題目中所提供的資訊或條件時，更具有統合力及成功率。他們能更有效地整合不同的
條件，而對成功解題做出關鍵的助力。他們對題目更能保持全面的掌握，而在解題策略、解題歷程及計算準確性上表現其系統性、整合性及持續性的評鑑，及改正的功能。
劉貞宜（2000）從國內外的研究中歸納資優生解題有以下的特徵：
一、認知層面
（一）、數學知識：
1.
對數學材料能夠迅速而牢固的記憶。
2.
數學知識較完備。
（二）、思考能力：
1.
具有很好的抽象思考能力（甚至幾何的問題也可以用抽象的方式來解）。
2.
具有敏捷的推理思考和心理定向能力。
3.
具有邏輯思維，以及有系統、有順序的思考能力。
4.
具有靈活的思維能力，能自如地從正面的思維歷程轉換到反面的思維歷程。
（三）、數學解題策略
1.
能全面掌握題目中的所有的條件。
2.
能正確地統整題目所提供的訊息。
3.
具頗強的視覺能力（如：能很快而正確地看出問題的結構，甚至抽象的問題也可以用視覺的方式來解）。
4.
能將大範圍類似的問題一般化。
5.
會自行將較難的字彙換掉。
6.
會將句子的長度縮短。
7.
會將無關資料刪除。
8.
會做出輔助圖表。
9.
解題方法能變通，且解題策略多變化。
（四）、後設認知能力
1.
在解題歷程中，能保持系統性及持續性的評鑑，及更正的能力。
2.
洞察答案的能力。
3.
高於普通生解題時的後設認知行為次數。
4.
優於普通生的後設認知能力。
5.
測驗難易度均等時，資優生在一般性常識問題上的後設認知優勢不再存在。
6.
難度越高的文章資優生自我評估及自我預測的正確性越低。
7.
資優生能隨著情境變化表現出較好的策略遷移的能力。
二、情意層面
（一）、對數學作業很少感到疲勞，耐力強且較能持續。
（二）、求知的好奇心。
（三）、較具正面的態度。
參、影響資優生數學解題相關因素之探討
綜觀國內外研究（朱中梧，2003；吳元良，1997；汪榮才，1990；林美惠，1997；林香、張英傑，2004；柯怡君，1994；凃金堂，1995；洪慧津，2004；張景媛，1994；張昇鵬，1995；陳李綢，1992；楊明家，1997；楊麗華，1997、2001；劉偵宜，2000；謝淡宜，1996；鍾靜、翁嘉聲，2000； Pan，1993；Pieter
& Overtoom，1986；Schoenfeld，1985；Swanson，1992）對影響數學解題歷程因素的探討可知，其影響因素雖有不同，但這可能與其研究的對象及使用的研究工具或研究者分析的角度有息息相關，但這些研究結果反而讓研究者對影響解題歷程之因素有更寬廣的瞭解，故綜合這些研究結果，筆者將可能影響資優生數學解題之重要因素概略歸納為以下四點，且各要點又涵蓋相關之要素：
（一）問題本身：係指問題的型態、表徵、內容及架構，其相關因素有：問題的問法、問題的型態（選擇題、填充題或應用問題等）及問題難易等。若要致力於問題特性如何影響數學解題的研究路線，應以問題作為測量解題者能力的工具，且瞭解及分析工作本身的特性如何影響解題結果。而且還需在問題的語法、內容或結構上稍作更動，以產生問題難度的改變，藉以引誘出各種不同的解題行為。
（二）個人的特徵：係指個人本身的特性，包括：性別、認知型式、數學背景、緊張或壓力的反應以及場地獨立或場地依賴等。其相關因素有：數學知識（如：語言知識、語意知識、基模知識、策略知識、程序知識等）、解題的經驗、對數學的態度、動機及冒險意願、數學信念、社會知識、思考能力（如：抽象思考、邏輯思考、推理思考能力、空間思考、演繹思考等）、計算能力、變通能力及後設認知能力等。
（三）解題的行為：即過程變項 ( process variables )，此變項緊緊維繫著解題者和問題性質這二個特徵，牽涉了與個人解題有關的因素，包括：組織與處理訊息的方法、用來計劃和執行的認知策略，以及用來評鑑的方法等。其相關因素有：數學解題行為（如：畫圖策略、嘗試法等）、數學思維方法（如：順推法、逆推法）等。
（四）環境特徵：係指問題與解題者外在之解題環境特色。其相關因素有學校因素、家庭環境因素、社會文化條件。
肆、結論
綜合上述，筆者認為可從三方面來提升資優生數學解題的能力：（一）教師方面：（1）運用適當的教學策略，以發展資優生的認知能力：如安排邏輯課程，以培養其分析與組合抽象性的思考問題之能力，使學生能有較佳的知覺能力，更能發揮其數學解題能力。（2）加強數學教育中的情意教育，以發展較積極的數學態度：教師能在資優數學教學上除了知識與技能的教授外，融入情意的教學如欣賞數學之美，經由情意教學能培養學生較積極的數學態度，並進而提昇數學解題能力。（二）家長方面：營造合宜的學習環境，父母應以關懷層面的教養態度，鼓勵孩子學習數學，並且多提供有關的刺激與多樣化的學習方法，使資優生在數學學習態度上較積極，以提昇其數學解題能力。（三）教育行政單位方面：（1）多舉辦「校內學術研討會」或「教學工作坊」，使教師能瞭解數學解題教學的精神與特色，以及多樣化且具有創意的教學方式。使資優教師在解題教學上可以針對不同的學生給以最適當的教學處方。（2）發展合適的資優生教材，使數學課程內容更具挑戰性：解題是提昇創造力最有效的方法之一，面對二十一世紀及未來知識經濟時代的來臨，更應重視解題之教學方能提昇國家競爭力。若能研發一套適合資優生數學解題的教材，不但可提供資優生富挑戰性的學習，更能激發其學習數學的態度，以提昇其數學解題能力。
參考文獻
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